\chapter{2011年期末试题}
\section{选择题}
\exercise{1}
一枚在星际空间飞行的火箭，当它以恒定的速率燃烧燃料时，运动学方程为$x=ut+u(\dfrac{1}{b}-t)\ln(1-bt)$。其中$u$是喷出气流相对于火箭的喷射速度，是一个常量，$b$是与燃烧速率成正比的一个常量，则此火箭的速度与加速度的表达式分别为
\optionss{-u\ln(1-bt),\dfrac{-bu}{1-bt}}
{-u\ln(1-bt),\dfrac{bu}{1-bt}}
{u\ln(1-bt),\dfrac{-bu}{1-bt}}
{u\ln(1-bt),\dfrac{bu}{1-bt}}

\exercise{2}
一光滑的内表面半径为10cm的半球形碗。如图所示，以角速度$\omega$绕其对称轴OC旋转，已知放在碗内的一个小球P相对于碗静止，其位置高于碗底4cm，由此可推知碗的旋转角速度约为
\option{13\textrm{rad/s}}
{17\textrm{rad/s}}
{10\textrm{rad/s}}
{18\textrm{rad/s}}

\begin{figure}[!h]
	\centering
	\subfigure[选择2 示意图]{
		\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
			\includegraphics[width=\textwidth]{./illus/2011_1.ai}
	\end{minipage}}
	\quad
	\subfigure[选择4 示意图]{
		\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
			\includegraphics[width=\textwidth]{./illus/2011_2.ai}
	\end{minipage}}
	\caption{两张题图}
\end{figure}

\exercise{3}已知地球的质量为$m$，太阳的质量为$M$，地心与日心的距离为$R$，引力常量为$G$，则地球绕太阳做圆周运动的角动量为
\option{m\sqrt{GMR}}
{\sqrt{\dfrac{GMm}{R}}}
{m\sqrt{\dfrac{GM}{R}}}
{\sqrt{GMmR}}

\exercise{4}
一轻绳跨过一具有水平光滑轴，质量为$M$的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为$m_1,m_2$的物体($m_1<m_2$)，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，分别考虑轮为实心和空心的情况，当$m_2$下降相同高度后获得的速率分别为$v_1$和$v_2$，试确定两者大小关系
\option{v_1=v_2}
{v_1<v_2}
{v_1>v_2}
{\text{无法确定}}

\exercise{5}
根据相对论力学，动能为0.25MeV的电子，其运动速度约等于（电子的静能为$m_0c^2$=0.5MeV，$c$为真空中光的速度）
\option{0.1c}
{0.5c}
{0.75c}
{0.85c}

\exercise{6}两个同心均匀带电球面，半径分别为$R_1,R_2(R_1<R_2)$所带电量分别为$Q_1,Q_2$，设某点与球心的距离为$r$，当$R_1<r<R_2$时，该点的电场强度的大小为
\optionss{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_1+Q_2}{r^2}}
{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_1-Q_2}{r^2}}
{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}(\dfrac{Q_1}{r^2}+\dfrac{Q_2}{R^2})}
{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_1}{r^2}}

\exercise{7}
有一沿水平方向放置的带电直线，长为L，电荷线密度为$\lambda$，则带电直线右侧延长线上距离带电直线左端点为$r(r>L)$处的电势大小为
\optionss{\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r+L}{r}}
{\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r-L}{r}}
{\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{L}{r+L}}
{\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{L}{r-L}}

\exercise{8}
将一空气平行板电容器接到电源上，充电到一定电压后，在保持与电源连接的情况下，再将一块与平板面积相同的金属板平行的插入两极板间，金属板的插入及所处位置不同，对电容器储存电能的影响为：
\options    
{储能减少，但与金属板的位置无关}
{储能减少，且与金属板的位置有关}
{储能增加，但与金属板的位置无关}    
{储能增加，且与金属板的位置有关}

\begin{figure}[!h]
	\centering
	\subfigure[选择8 示意图]{
		\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
			\includegraphics[width=\textwidth]{./illus/2011_3.ai}
	\end{minipage}}
	\quad
	\subfigure[选择9 示意图]{
		\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
			\includegraphics[width=\textwidth]{./illus/2011_4.ai}
	\end{minipage}}
	\quad
	\subfigure[选择10 示意图]{
		\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
			\includegraphics[width=\textwidth]{./illus/2011_5.ai}
	\end{minipage}}
	\caption{三张题图}
\end{figure}

\exercise{9}
如图所示，一长直导线中部弯成半径为$r$的半圆形，导线中通以恒定电流$I_1$，则弧心O点处的磁感应强度的大小和方向分别是
\optionss{\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}+\dfrac{\mu_0I}{4r}\text{，向外}}
{\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}+\dfrac{\mu_0I}{4r}\text{，向里}}
{\dfrac{\mu_0I}{4r}\text{，向外}}
{\dfrac{\mu_0I}{4r}\text{，向里}}

\exercise{10}
在圆柱形空间内有一磁感应强度为$B$的均匀磁场垂直于纸面向里，$B$的大小以恒定速率变化，有一长度为$L$的金属棒先后放在磁场的不同位置，位置1$(a,b)$感应电动势大小为$\varepsilon_1$，位置2$(a',b')$感应电动势大小为$\varepsilon_2$，如图所示，则
\optionss{\varepsilon_1=\varepsilon_2\neq0}
{\varepsilon_1<\varepsilon_2}
{\varepsilon_1>\varepsilon_2}
{\varepsilon_1=\varepsilon_2=0}

\section{填空题}

\exercise{1}
质点沿半径为$R$的圆做圆周运动，某一时刻其加速度大小为$a$，方向与位矢的夹角为$\theta$，则该时刻质点的速率为\ul，切向加速度的大小为\ul。

\exercise{2}
质量为$m$=1kg的质点，从静止出发，在水平面内沿x轴正向运动。其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为$F=3+2x$，物体在开始运动的3m内合力做功$A=$\ul；$x=3$时，其速率$v=$\ul。

\exercise{3}
长为$L$，质量为$M$的均匀细杆，以及一长为$L$，质量为$M$的单摆（绳的质量忽略不计），今用同样的弹丸（质量均为$m$）以同样的速度$v$沿水平方向分别击中杆和单摆的下端，并与之合为一体，则击中后的瞬间杆的角速度为\ul，单摆的角速度为\ul。

\exercise{4}
如图所示，图中实线为某电场的电场线，虚线为等势面，则$E_A,E_B,E_C$的大小关系为\ul，$U_A,U_B,U_C$的大小关系为\ul。


\begin{figure}[!h]
	\centering
	\subfigure[填空4 示意图]{
		\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
			\includegraphics[width=\textwidth]{./illus/2011_6.ai}
	\end{minipage}}
	\quad
	\subfigure[填空5 示意图]{
		\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
			\includegraphics[width=\textwidth]{./illus/2011_7.ai}
	\end{minipage}}
	\caption{两张题图}
\end{figure}

\exercise{5}
A、B为真空中两个平行的无限大均匀带电平面，平面间的电场强度大小为$E_0$，$B$平面外侧的电场强度为$\dfrac{E_0}{3}$，方向由A指向B，则A、B平面的电荷密度分别为$\sigma_1=$\ul，$\sigma_2=$\ul。

\exercise{6}
一个通有电流$I$的导体，厚度为$D$，横截面积为$S$，放在磁感应强度为$B$的匀强磁场（磁感应强度为 $B$）中，磁场方向垂直于导体的侧平面，现测得导体上下两面电势差为$V$，此导体的霍尔系数为\ul。

\exercise{7}
如图所示，在无限长直载流导线的右侧有面积为$S_1,S_2$的两个矩形回路，两个回路和长直载流导线在同一平面内，且电流方向和矩形回路的一边平行，则通过面积为$S_1$的矩形回路的磁通量和通过面积为$S_2$的矩形回路的磁通量之比为\ul。

\begin{figure}[!h]
	\centering
	\subfigure[填空7 示意图]{
		\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
			\includegraphics[width=\textwidth]{./illus/2011_8.ai}
	\end{minipage}}
	\quad
	\subfigure[填空8 示意图]{
		\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
			\includegraphics[width=\textwidth]{./illus/2011_9.ai}
	\end{minipage}}
	\caption{两张题图}
\end{figure}

\exercise{8}
一无铁芯的长直密绕螺线管，在保持半径和总匝数不变的情况下，把螺线管稍微拉长一点，不考虑漏磁的理想情况下，则它的自感系数将\ul（变大，变小或不变）。


\section{解答题}%用\vspace控制答题空间
%\begin{wrapfigure}{1}[r][1em]\end{wrapfigure}
\exercise{1}
如图所示，一个转动惯量为$J$，半径为$R$的定滑轮上面绕有细绳，并沿水平方向拉着一个质量为$M$的物体A，整个装置静止且细绳处于拉直状态。现有一质量为$m$的子弹在距转轴$\frac{R}{2}$处。试求：

\exercisequestion{1}求子弹射入并停留在滑轮边缘后，滑轮开始转动的角速度 。

\exercisequestion{2}如果定滑轮拖着A刚好转动一周停止，求A与地面的摩擦系数。（轴上摩擦力忽略不计）；

\begin{figure}
	\begin{flushright}
		\includegraphics[width=0.4\textwidth]{./illus/2011_10.ai}
		\caption{解答1 示意图}
	\end{flushright}
\end{figure}

\exercise{2}
在6000m的高空大气层产生了一个$\pi$介子，以速度$v=0.998c$飞向地球，假定该$\pi$介子在其自身的静止系中的寿命约等于其平均寿命$2\times 10^{-6}$，试从下面两个角度，即地球上的观察者和介子静止系中观察者，来判断该介子能否到达地球。

\exercise{3}
一半径为$R$的无限长带电圆柱，其电荷体密度$\rho=\rho_0r(r<R)$，$\rho_0$为常量，求电场强度分布。

\exercise{4}
半径为$R$的无限长带电圆柱导体，通有电流$I$，$I$均匀分布在其横截面上。

\exercisequestion{1}试求外的磁感应强度$B$的分布。

\exercisequestion{2}在柱体内挖一个空心圆柱，空心部分的半径为$b$，轴线与圆柱轴线平行但不重合，两者相距为$a$。若此时圆柱体内电流为$I$，均匀分布在其横截表面上，试求圆柱轴线和空心圆柱轴线上的磁感应强度$B$的大小。

\exercise{5}
有一根辐条的轮子在均匀磁场中转动，转动轴与磁感应强度$B$平行，如图所示，轮子和辐条都是导体，辐条长为$R$，轮子每秒转$N$圈。两条导线a和b通过各自的电刷分别和轮轴和轮缘接触。

\exercisequestion{1}试求a,b间的感应电动势$\varepsilon_1$；

\exercisequestion{2}若在a,b间接一个电阻使辐条中的电流为$I$，试问$I$的方向如何？

\exercisequestion{3}试求这时磁场作用在辐条上的力对轮轴的力矩$M$的大小。
\begin{figure}[!h]
	\begin{flushright}
		\includegraphics[width=0.4\textwidth]{./illus/2011_11.ai}
		\caption{解答5 示意图}
	\end{flushright}
\end{figure}

\newpage
\section{参考答案}
\subsection{选择题和填空题}
\choosing{1}{10} BAACC DDCCC

\filling{\sqrt{aR|\cos\theta|}\quad a\sin\theta}
{18\textrm{J}\quad6\textrm{m/s}}
{\dfrac{mv}{(m+\frac{1}{3}M)L}\quad\dfrac{mv}{(m+M)L}}
{E_A<E_B<E_C\quad U_A>U_B>U_C}
{\dfrac{4}{3}\varepsilon_0E_0\quad -\dfrac{2}{3}\varepsilon_0E_0}
{\dfrac{VD}{IB}}
{1(1:1)}
{\textrm{变小}}

部分题目解析：

\exerciseanswer{选择}{4}

\tips 两种情况的区别在于，实心轮质量分布靠近轮心，转动惯量较小，加速度大。

\exerciseanswer{选择}{9}

\tips 由毕奥—萨法尔定律，直径部分在O点产生的磁感应强度为零。不可与无线长直导线模型混淆，认为磁感应强度是无穷。

\exerciseanswer{选择}{10}

\solve 均匀变化磁场产生的感应电动势有两种求解方法：

(1) 感生电场叠加。这是普适的方法，往往需要投影、积分，可能较麻烦。常用于计算一段导体上的电动势。在本题中，设导线中心到O的距离为$d$，则：
\begin{align*}
\varepsilon&=\int_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L}\left|\dy{B}{t}\right|\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+d^2}}{2}\cdot\dfrac{d}{\sqrt{x^2+d^2}}\di{x}\\
&=\left|\dy{B}{t}\right|\cdot\dfrac{Ld}{2}
\end{align*}
可见$\varepsilon$与$d$成正比，故选C。

(2) 法拉第电磁感应定律法。此法可计算环路、一段导体的电动势，只要面积容易计算。感生电场方向垂直于相应半径，故任意场点与O的连线上电动势为零，则一段导体的电动势等于相应环路的电动势。本题中：
\begin{align*}
\left|\varepsilon\right|&=\left|\dy{\phi}{t}\right|\\
&=\left|\dy{B}{t}\right|S\\
&=\left|\dy{B}{t}\right|\cdot\dfrac{Ld}{2}
\end{align*}
这样相对更容易计算。

\exerciseanswer{填空}{5}
由无限带电平面场强公式$E=\dfrac{\delta}{2\varepsilon_0}$得（向右为正向）：
\begin{align*}
\dfrac{\delta_1}{2\varepsilon_0}-\dfrac{\delta_2}{2\varepsilon_0}&=E_0\text{（平面间）}\\
\dfrac{\delta_1}{2\varepsilon_0}+\dfrac{\delta_2}{2\varepsilon_0}&=\dfrac{E_0}{3}\text{（B
	平面右侧）}
\end{align*}
解得：
\begin{gather*}
\delta_1=\dfrac{4}{3}\varepsilon_0E_0\\
\delta_2=-\dfrac{2}{3}\varepsilon_0E_0
\end{gather*}


\exerciseanswer{填空}{8}%查书页码、版本、具体叙述

\solve
参照大学物理课本（黑皮）第……页的推导，计算公式为$L_0=\mu_0n^2V=\mu_0S\dfrac{N^2}{l}$，其中$n$是单位长度上的匝数，$N$是总匝数，$S$是横截面积，$l$是螺线管长度，按此分析，答案应是减小。该模型针对的是无限长螺线管，且认为半径很小，管内磁感应强度处处相等，这里并不完全严谨。（我回去再看看书）

感兴趣的同学可以参考相关文献，如邰爱东给出了两种准确的计算方法\footnote{邰爱东.有限长直密绕螺线管的自感系数[J].物理与工程,2003(06):8-9.}。


\subsection{解答题}
\solves{1}%普通格式，英文括号，然后空一下
(1) 射入时，由角动量守恒：
\begin{gather*}
R\cdot mv_0\sin\dfrac{5\pi}{6}=J\omega+mR^2\omega+MR^2\omega\\
\omega=\dfrac{mv_0R}{2(J+mR^2+MR^2)}
\end{gather*}
(2) 由动能定理：
\begin{gather*}
-\dfrac{1}{2}(J+mR^2+MR^2)\omega^2=-\mu Mg\cdot 2\pi R\\
\mu=\dfrac{m^2v_0^2R}{16\pi Mg(J+mR^2+MR^2)}
\end{gather*}

\solves{2}
对地球上的观察者：
\begin{gather*}
\tau=\dfrac{\tau_0}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}=\dfrac{2\times 10^{-6}}{\sqrt{1-0.998^2}}=3.16\times 10^{-5}(\textrm{s})\\
t=\dfrac{s_0}{v}=\dfrac{6000}{0.998c}=2.00\times 10^{-5}(\textrm{s})<\tau
\end{gather*}
故能到达地球。

对$\pi$介子系观察者：
\begin{align*}
s&=s_0\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}\\
t'&=\dfrac{s}{v}=\dfrac{s_0}{v}\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}\\
&=2.00\times 10^{-5}\times 0.0632\\
&=1.27\times 10^{-6}(\textrm{s})<\tau_0
\end{align*}
故能到达地球。

\solves{3}
取半径为$r$、高为$h$的高斯面，由高斯定理：

$r<R$时，
\begin{gather*}
E\cdot 2\pi rh=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_0^r \rho\cdot 2\pi rh\di{r}=\dfrac{2\pi h\rho_0}{\varepsilon_0}\int_0^rr^2\di{r}\\
E=\dfrac{\rho_0r^2}{3\varepsilon_0}
\end{gather*}
$r>R$时，
\begin{gather*}
E\cdot 2\pi rh=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\int_0^R \rho\cdot 2\pi rh\di{r}=\dfrac{2\pi h\rho_0}{\varepsilon_0}\int_0^Rr^2\di{r}\\
E=\dfrac{\rho_0R^3}{3\varepsilon_0r}
\end{gather*}
\therefore$E=$
$\begin{cases}
\vspace{0.3em}%不会调cases的行距。。
\dfrac{\rho_0r^2}{3\varepsilon_0},&r<R\\
\vspace{0.2em}
\dfrac{\rho_0R^3}{3\varepsilon_0r},&r>R
\end{cases}$
，方向沿场点处高斯面的法向量向外。

\note 这种求分布的题最好还是写上方向。

\solves{4}
(1) 在距离导体中心$r$处，取一半径为$r$的环路，由安培环路定理：

$r<R$时，
\begin{gather*}
B\cdot 2\pi r=\mu_0\dfrac{I}{\pi R^2}\cdot\pi r^2\\
B=\dfrac{\mu_0Ir}{2\pi R^2}
\end{gather*}
$r>R$时，
\begin{gather*}
B\cdot 2\pi r=\mu_0I\\
B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}
\end{gather*}
\therefore$B=
\begin{cases}
\vspace{0.3em}
\dfrac{\mu_0Ir}{2\pi R^2},&r<R\\
\vspace{0.2em}
\dfrac{\mu_0I}{2\pi r},&r>R
\end{cases}$

方向沿该点处环路的切向量，与电流方向符合右手定则。

(2) 此时，电流面密度$\sigma=\dfrac{I}{\pi R^2-\pi b^2}$。%求调行距。。

该系统可看做半径为$R$、电流面密度为$\sigma$的圆柱和半径为$b$、电流面密度为$-\sigma$的圆柱的组合。
且它们在自己轴线上产生的磁感应强度为0。那么由(1)：
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\textwidth]{./illus/2011_s1.ai}
	\caption{解答4 解析示意图}
\end{figure}
对于圆柱轴线，$a>b$时，如左图：
\[
B_1=\left|\dfrac{-\mu_0\sigma\cdot\pi b^2}{2\pi a}\right|=\dfrac{\mu_0Ib^2}{2\pi a(R^2-b^2)}
\]
$a<b$时，如右图：
\[
B_1=\left|\dfrac{-\mu_0\sigma\cdot\pi a^2}{2\pi a}\right|=\dfrac{\mu_0Ia}{2\pi(R^2-b^2)}
\]
对于空心圆柱轴线，
\[
B_2=\dfrac{\mu_0\sigma\cdot\pi a^2}{2\pi a}=\dfrac{\mu_0Ia}{2\pi(R^2-b^2)}
\]
综上，$\cdots$

\solves{5}
(1) 
\begin{align*}
\varepsilon_1&=\int_{a}^{b}(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\di{l}\\
&=\int_{0}^{R}l\omega B\di{l}\\
&=\dfrac{1}{2}BR^2\omega\\
&=\pi NBR^2
\end{align*}
(2) （电动势方向是从轮子中心到轮子外侧，所以电流方向为）$b\rightarrow a$.

(3)
\begin{align*}
M&=\int_{a}^{b}\left|\vec{l}\times(I\di{\vec{l}}\times\vec{B})\right|\\
&=BI\int_{0}^{R}l\di{l}\\
&=\dfrac{1}{2}BIR^2
\end{align*}